黎曼几何 编者:黄利兵

黎曼几何是现代微分几何的重要分支之一，本书对黎曼几何的基本概念和基本方法进行了介绍。优秀讲介绍了黎曼流形，即一个正则的Hilbert流形，其中的每个切空间都装备有内积，被称为黎曼度量，这是黎曼几何的基本对象。第二讲介绍黎曼联络，是联络在黎曼几何中的特例，较为简单，在黎曼流形中引入了平移映射即得。第三讲讨论了测地线，介绍了怎样用黎曼联络求得两点之间的最短曲线，经过了测地线方程的推导。第四讲介绍了曲率，讲述了切向量场的导数与Riemann曲率张量之间的关系，并证明了在黎曼流形上平移导数与协变导数之间的关系。第五讲介绍了弧长的变分公式，其中自然引出了Jacobi场和测地线方程的初值问题。第六至第八讲主要讨论了几何变换、微分算子、完备性、比较定理等。第九讲着重介绍了黎曼流形中矢量场的微分，包括李括号、黎曼对偶等，第十至第十三讲则探讨了黎曼流形的齐性，从而引出对弯曲空间的分类。