矩阵分析

《矩阵分析》是一本重要的数学专著，涵盖了矩阵分析的核心思想、前沿研究和广泛应用。本书针对数学专业的研究生、科研人员以及希望深入理解优化的读者。优秀章回顾了线性代数的一些基础知识，主要介绍了向量空间和内积空间、线性算子和矩阵、直和和张量积以及对称类等概念。第二章介绍了Majorization和双随机矩阵的基本概念，证明了Birkhoff定理，探讨了凸和单调函数、二元代数运算和Majorization之间的关系。第三章介绍了特征值的基本原理和变分原理，包括minimax原理、Weyl不等式、Wielandt最小极大原理和Lidskii定理等，并探讨了奇异值的相关内容。第四章讨论了对称范数领域的一些基础知识，探讨了cn上的范数、算子范数和弱单变量范数，并给出了Lidskii定理的第三个证明。第五章介绍了算子单调和算子凸函数的定义和实例，探究了它们的一些性质和典型示例，并给出了Loewner定理的证明。第六章探讨了正常矩阵的谱变化，包括多项式根的连续性、共轭转置矩阵和Skew-Hermitian矩阵、算子范数和Frobenius范数的估计等。第七、八章分别研究了正规矩阵和非正规矩阵谱子空间的扰动，以及对称正定矩阵和实对称矩阵特征值的扰动问题。最后一章罗列了一些矩阵不等式，包括矩阵乘积和幂、指数函数、算术-几何平均不等式、Schwarz不等式、Lieb凹定理等，并探讨了相应的运算符逼近问题。 这本书深入浅出，既让初学者能够理解基本思想和概念，又让高阶读者掌握新研究成果和应用技巧。